Calendario de Evaluación Periodo 2012-I Lógica

Derivaciones Lógicas

Determine si A es derivable a partir de T   ( T |—A) y realice su respectiva traducción al lenguaje natural.

1. T = {(p&q) & r,  p↔s };                    A = (p&s) v t   

2. T = {(p↔q) & r, p→q,  p };              A = (p&r) v s

3. T = {p&r,  p→q};                              A = (p&r) ↔ (q & r)

4. T = {(p&q) & (p& r) };                      A = (t&s) → (s & q) & r

5. T = {(p&q) & r, p↔s };                     A = (p v s) v q

6. T = { (t&s) → (s & q) & r };              A =  (t&s) → ( s → q & r )

7. T = { (t&s) ↔ q ,  q & r };                A =  t ↔ ( s ↔  q & t )

Reglas a utilizar: Dependiendo del caso en estos ejercidos solo se usaran las reglas de la copia, Introducción y eliminación de la conjunción, implicación y equivalencia.

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Consideraciones de Lógica Proposicional

1. El lenguaje de la lógica proposicional consta de los siguientes elementos:

· Las variables. Simbolizan proposiciones simples, es decir, aquellas proposiciones que forman parte de un contexto compuesto. las más usadas son: p, q, r, s, t, entre otras.

· Las conectivas lógicas, también llamadas constantes u operadores lògicos. Sirven para enlazar las variables y formar proposiciones complejas. Destacamos las siguientes:

· La negación (¬). Se lee "no ...". Por ejemplo, la proposición No llueve se simboliza "¬p". Se trata de una conectiva singular ya que es la única que no relaciona variables entre sí, sino que sólo puede afectar a una expresión del cálculo
· La conjunción (^). Se lee "... y ...". Por ejemplo, la proposición LLueve y me aburro se simboliza "p ^ q".
· La disyunción inclusiva o débil (v). Se lee "... o ..., o bien ... y ..." Por ejemplo, la proposición Es verdad que llueve o que soy feliz, o bien que llueve y soy feliz se simboliza "p v q".
· El condicional (→). Se lee "si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si llueve, entonces las calles se mojan se simboliza "p →q".
· El bicondicional (↔). Se lee "si y sólo si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si y sólo si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo se simboliza "p↔q".

· Los signos auxiliares, que son los paréntesis, los corchetes y las llaves: (, ), [, ], { }.

2. La lógica proposicional, como LENGUAJE FORMALIZADO, puede considerarse como la unión de un una sintaxis y una semántica:

a) La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos. Son las siguientes:
· p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.
· Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.
· Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.

b) La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que se asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es veritativo funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.
Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia que son las que permiten realizar deducciones.

3. La lógica proposicional posee las siguientes propiedades metalógicas:

· Consistencia, ya que del cálculo proposicional no puede derivarse ninguna contradicción.

· Completud, puesto que todas las expresiones verdaderas construidas con los signos del cálculo son demostrables en él.

· Decidibilidad, porque para cualquier fórmula dada puede determinarse por un procedimiento bien pautado en un número finito de pasos su validez en el cálculo.  Este procedimiento algorítmico son las tablas de verdad.

· La independencia de los axiomas, en el sentido de que ningún axioma del cálculo puede deducirse de otro.

Introducción

La lógica estudia los métodos y las leyes que permiten distinguir un razonamiento válido de un razonamiento no válido. Esto supones que el núcleo central al que hace referencia el estudio de la lógica es el razonamiento. La comprensión del razonamiento es, entonces, indispensable.
Por lo tanto, hoy en día el estudio del razonamiento se nos presenta en diversas posibilidades y alcances. Por medio del lenguaje lógico que pretende construir un lenguaje preciso para las ciencias, para establecer la validez de lo razonamientos que en él se cumplen.